viernes, 23 de marzo de 2018
sábado, 10 de marzo de 2018
DOCUMENTO DE NÚMEROS ENTEROS
NUMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros está conformado por los
enteros negativos, el cero, y los enteros positivos.
El conjunto de los números se representa con la letra Z. Por lo tanto:
Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Los números negativos se utilizan:
- Para
indicar deudas.
- Profundidades
bajo el nivel del mar
- Para
indicar temperaturas bajo cero.
- En
matemáticas para indicar desplazamientos hacia la izquierda o hacia debajo
de un punto referencial.
La distancia de cero a un número se llama valor absoluto.
El valor absoluto de un número diferente de cero es el mismo número entero
pero sin signo.
Para representar esas distancias se acostumbra colocar el número entre dos
líneas verticales así:
Representa
la distancia desde cero hasta -5
+5 la distancia desde cero hasta +5
Además como ambas representaciones significan la distancia 5, se obtiene la
siguiente igualdad.
= +5 = 5
Se lee: valor absoluto de –5 es igual al calor absoluto de +5 es igual
a 5.
Representamos los números
enteros sobre una recta, en la cual marcamos un punto de origen y le asignamos
el 0.
A continuación los puntos ubicados a la derecha del origen les asignamos
los números +1, +2, +3 , . . .
A los puntos que quedan a la izquierda del origen les asignamos los
números -1, -2, -3, . . .
Veamos dos ejemplos
1) Representemos
los números -8, -6, -1, 2 y 5, en una misma recta.
Representemos
los números -70, -35, -5, 58 y 89, en una misma recta.
Cuando comparamos dos números enteros a y b , sólo pueden darse estas tres
posibilidades:
- Que los dos números
sean iguales. Simbólicamente a = b.
- Que el primero sea
mayor que el segundo. Simbólicamente a > b
- Que
el primero sea menor que el primero. Simbólicamente. a <
b.
· Dados dos números enteros positivos, es mayor el que
tiene mayor valor absoluto.
· Dados dos números de distinto signo, es mayor el
positivo.
· Dados dos números enteros negativos, es mayor el que
tiene menor valor absoluto.
· El cero es menor que cualquier entero positivo y mayor
que cualquier entero negativo.
· Un número es menor que otro, si al ubicarlo en la
recta numérica queda a su izquierda.
REFLEXIVA Todo número es igual a
sí mismo. Simbólicamente a = a.
SIMÉTRICA Si un
número “a” es igual a otro número “b”, entonces “a” es igual a “b”.
Simbólicamente: Si a
= b, entonces b = a.
TRANSITIVA Si un número
“a” es igual a otro “b” y “b” es igual a “c”, entonces “a” es
Igual
a “c”. Simbólicamente Si a = b y b = c,
entonces a = c.
EJERCICIOS
- Escribe
V o F según la afirmación sea verdadera o falsa.
1) -5 < -10 ___
2) 5 > 7 ___
SUMA DE NUMEROS ENTEROS
Al sumar números enteros se pueden considerar cuatro casos
1. Los dos números sean positivos.
2. Un número es positivo y el otro negativo.
3. Los dos números sean negativos.
4. Suma de varios números enteros.
LOS DOS NÚMEROS SEAN
POSITIVOS.
Para sumar dos números
enteros positivos se suman sus valores absolutos y les colocamos el
signo (+).
NOTA: Por acuerdo en
matemáticas cuan el primer término de una suma de números enteros es positivo
no es necesario colocarle el signo (+).
Veamos dos ejemplos.
1) (+3)
+ (+5) = 10
2) (+20)
+ (30) = 50
UN NÚMERO ES POSITIVO Y EL
OTRO NEGATIVO
Para sumar dos números
enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y a la diferencia se
coloca el signo que tenga mayor valor absoluto.
Veamos dos ejemplos.
1) (-50)
+ (+30) = -20
2) (+70)
+ (-15) = 55
LOS DOS NÚMEROS SEAN
NEGATIVOS.
Para sumar dos números enteros negativos se suman sus valores absolutos y
al resultado le colocamos el signo (-).
Veamos dos ejemplos.
1) (-60) + (-40) = -100
2) (-800) + (-200) = -1000
SUMA DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS.
Para sumar varios números
enteros, tanto positivos como negativos, hacemos lo siguiente:
1. Sumamos aparte los enteros negativos.
2. Sumamos aparte los enteros negativos.
3. Sumamos los dos resultados obtenidos: con el signo que
tenga mayor valor absoluto.
Veamos dos ejemplos
1) (+10)
+ (-30) + (-80) + (+40) + (-100) =
Sumemos los números positivos.
(+10) + (+40) = 50
Sumemos los números
negativos.
(-30) + (-80) +
(-100) = -210
Ahora sumemos los resultados
parciales.
(-210) + (+50) =
-160
2) (+15)
+ (-35) + (-65) + (+35) + (-10) + (+200) =
Sumemos los números
positvos.
(+15) + (+35) +
(+200) = 250
Sumemos los números
negativos.
(-35) + (-65) + (-10) = -110
Ahora sumemos los resultados
parciales.
(-110) + (+250) = 140
PROPIEDADES DE LA SUMA DE
NUMEROS ENTEROS
PROPIEDAD CLAUSURATIVA
La suma de dos números
enteros es otro número entero, es decir:
Si a, b Є Z entonces a + b Є
Z
Veamos dos ejemplos
1) (+20)
+ (-30) = -10
2) (-10)
+ (-70) = -140
PROPIEDAD CONMUTIVA
La suma de dos o más números
enteros no depende del orden de los términos; es decir:
Si a, b Є Z entonces a + b = b +a
Veamos dos ejemplos
1) (-80) + (+25) = (+25) + (-80)
-55 = -55
2) (-200) + (+50) + (-30) = (-30) + (-200) +
(+50)
-180 = -180
PROPIEDAD ASOCIATIVA
La suma de tres p más números enteros no depende de la forma en que se
asocien sus términos; es decir:
Si a, b, c Є Z entonces a + (b + c) = (a + b ) + c
1) [(-8) + (+10)] + (-20) = (-8) + [ (+10) + (-20) ]
[+2] + (-20) = (-8) + [-10]
-18 = -18
1) [(+100) + (+30)] + (-200) = (+100) + [ (+30) +
(-200) ]
[+130] + (-200) = (+100) + [-170]
-70 = -70
PROPIEDAD MODULATIVA (ELEMENTO NEUTRO)
La suma de cualquier número entero con el 0 es el mismo número entero; es
decir:
Si a, b Є Z entonces a + 0 =
0 + a = a
1) (-10)
+ 0 + 0 + 0 + 0 = -10
2) (+100)
+ (-500) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 =-400
INVERSO ADITIVO
Para todo número entero “a” existe un número entero “-a” llamado
inverso aditivo.
La suma de un número entero y su inverso aditivo es el número
entero cero, es decir:
a + (-a) = (-a) + a = 0
1) (+3) + (-3) = 0
2) (-500) + (+500) = 0
PROPIEDAD UNIFORME
Sumando miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad
Si a
=b
c
= d
a
+c = b +d
1) (+10)
+ (-15) = -5
-20=
(-30) + (+10)
(+10) + (-15) + (-20)
= (-5) + (-30) + (+10)
-25 = -25
2)
-50= (-15) + (-35)
(+100) + (-30) =
70
(-50) + (+100) + (-30) = (-15) + (-35) + (+70)
PROPIEDAD DE LA MONOTONIA
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo número se
obtiene una desigualdad del mismo sentido
Si a
<b
c
= d
a
+c < b +d
1)
-7 < 5
(-10)
+ (+8) = -2
(-7) + (-10) + (+8) < (+5) + (-2)
2)
8>-10
(+4)
+ (-6)= -2
(+8) + (+4) + (-6)> (-10) + (-2)
6>-12
Con el propósito de facilitar la suma de números enteros,
convendremos en omitir el signo + que indica la operación suma. Además cuando
el primer número sea positivo también omitiremos el signo más.
Veamos dos ejemplos
1) (+10) + (-20) + (-50) + (+15)=
Lo escribiremos así:
10-20-50+15=
Sumemos los números positivos.
10+15=25
Sumemos los números
negativos.
-20-70=-90
Ahora sumemos los resultados parciales.
25-90=-65
2) (-100)+ (+70)+ (-400)+ (30)+ (+500)=
Lo escribiremos así:
-100+70-400+30+500=
Sumemos los números positivos.
10+30+500=600
Sumemos los números
negativos.
-100-400= -500
Ahora sumemos los resultados parciales.
-500+600=100
OPERACIONES CON NUMEROS
ENTEROS
GRADO SEPTIMO
JESUS ANTONIO OCAMPO
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